|
|
| Строка 1: |
Строка 1: |
| '''0=1''' (ноль равняется единице; число ноль равняется числу один) — это один из случаев [[Всеобщее равенство (математика)|всеобщего равенства]]. Доказывается многими — похожими и отличающимися — методами.
| | text |
| | |
| == Метод возведения в степень ==
| |
| Следует обратить внимание, что <math>a^0=1</math> (1), однако <math>0^a=0</math> (2). Подставим <math>a=0</math>.
| |
| Следовательно формуле (2), <math>0^0=0</math>, но, исходя из формулы (1), <math>0^0=1</math>.
| |
| Таким образом, <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Метод степеней единицы ==
| |
| Как известно, <math>1^a=1</math>, таким образом, <math>1^1=1^0=1</math>. Но, если равны основания степеней и их
| |
| значения, то равны и показатели, то есть <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Метод умножения ==
| |
| Справедливо равенство <math>0\cdot0=0\cdot1</math>. Поделим это выражение на <math>0</math>. Получим: <math>\frac{0}{0}\cdot0=\frac{0}{0}\cdot1</math>, отсюда выходит, что <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Упрощённый метод умножения ==
| |
| Дано: <math>0\cdot0=0\cdot1</math>. Так как <math>0=0</math>, то <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Факториальный метод ==
| |
| Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако <math>0!=1</math> и <math>1!=1</math>, то есть
| |
| <math>0!=1!</math>. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод вынесения множителей ==
| |
| Справедливо равенство <math>\frac{4}{4}=\frac{5}{5}</math>. Вынесем общий множитель: <math>4\cdot\frac{1}{1}=5\cdot\frac{1}{1}</math>. Сократим: <math>4=5</math>.
| |
| Вычтем 4 и получим искомое равенство.
| |
| | |
| == Метод деления ==
| |
| Допустим, что есть некое равенство <math>a-b=0</math>. А теперь поделим каждую сторону это равенства на <math>a-b</math>. Получим: <math>\frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b}</math>, или <math>1=0</math>.
| |
| | |
| == Метод логарифмирования ==
| |
| Согласно формулам, <math>log_{a}a=1</math> и <math>log_{a}1=0</math>. Подставим <math>a=1</math>. Получим: из первой формулы
| |
| <math>log_{1}1=1</math>, но из второй формулы <math>log_{1}1=0</math>. Это значит, что <math>0=1</math>, что требовалось доказать.
| |
| | |
| == Алгебраический метод ==
| |
| Метод, подобный тому, что предложен в статье «[[Всеобщее равенство (математика)|Всеобщее равенство]]». Рассмотрим равенство <math>a=b+c</math>. Умножим обе его части на <math>a-b</math>. Получим: <math>a^2-ab=ab+ac-b^2-bc</math>, то есть <math>a^2-ab-ac=ab-b^2-bc</math>. Разложим на множители, получим <math>a(a-b-c)=b(a-b-c)</math>, сокращаем, получаем <math>a=b</math>. То есть, подставив <math>a=1</math>, <math>b=0</math>, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.
| |
| | |
| == Метод составления уравнения ==
| |
| Возьмём <math>x=1</math>. Это то же самое, что и <math>x-1=0</math>. Добавим <math>x</math>, получим: <math>2x-1=x</math>. Вычитаем единицу: <math>2x-2=x-1</math>. Выносим общий множитель за скобку: <math>2(x-1)=x-1</math>, и полученное выражение делим на <math>x-1</math>. Получаем: <math>2=1</math>. Вычитая из этого равенства единицу, получаем искомое выражение: <math>1=0</math>. Что и следовало доказать.
| |
| | |
| == Иррациональный метод ==
| |
| Докажем сначала, что <math>1=-1</math>. Понятно, что <math>\sqrt{-1}=\sqrt{-1}</math>. Представим в левой части равенства <math>-1=\frac{-1}{1}</math>, а в правой <math>-1=\frac{1}{-1}</math>. Получим <math>\sqrt {\frac{-1}{1}}=\sqrt {\frac{1}{-1}}</math>. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому <math>\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt1}=\frac{\sqrt1}{\sqrt{-1}}</math>. По свойству пропорции: <math>\sqrt{-1}\cdot\sqrt{-1}=\sqrt1\cdot\sqrt1</math>. Следовательно, <math>-1=1</math>. Прибавив к обеим частям равенства <math>1</math> и разделив их на <math>2</math>, получим требуемое равенство <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Геометрический метод 1 ==
| |
| [[Файл:Treug1.png|thumb|400px|Равные треугольники]] Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна <math>60</math> клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна <math>58</math> клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что <math>58=60</math>. Отнимем от обеих частей равенства <math>58</math> и разделим на <math>2</math>, получим <math>\frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2}</math>, то есть <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Геометрический метод 2 ==
| |
| Докажем сначала, что все треугольники — равносторонние. [[Файл:Triankg.jpg|thumb|Чертёж]] Рассмотрим произвольный <math>\Delta ABC</math>. Проведем биссектрису угла <math>B</math> и серединный перпендикуляр к стороне <math>AC</math>; точку их пересечения назовем <math>O</math>. Опустим из нее перпендикуляры <math>EO</math> и <math>OF</math> на стороны <math>AB</math> и <math>BC</math> соответственно.
| |
| | |
| Так как <math>DO</math> одновременно и высота, и медиана <math>\Delta AOC</math>, то он равнобедренный и <math>AO=OC</math>. Так как <math>BO</math> — биссектриса, то, из равенства <math>\Delta EBO</math> и <math>\Delta OBF</math> (откуда <math>EB=BF</math>), <math>EO=OF</math>. Следовательно, <math>\Delta AEO=\Delta FCO</math>, то есть <math>AE=FC</math>. Отсюда, так как <math>AB=AE+EB</math> и <math>BC=BF+FC</math>, <math>AB=BC</math>. Проведя такое же рассуждение для основания не <math>AC</math>, а, например, <math>AB</math>, получим, что <math>BC=CA</math>.
| |
| | |
| Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.
| |
| | |
| Теперь рассмотрим прямоугольный <math>\Delta ABC</math> с гипотенузой <math>AB</math>. По доказанному выше, <math>AB=BC=AC=a</math>, а по теореме Пифагора, <math>AB^2=BC^2+AC^2</math>. Имеем: <math>a^2=2a^2</math> или <math>1=2</math>. Отнимем от обеих частей равенства <math>1</math>, получим <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| '''Источник''' — [http://www.absolute.times.lv/psm/sofisms/sofimath.html www.absolute.times.lv]
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 1 ==
| |
| <math>sin0=sin\pi</math>, отсюда вытекает, что <math>0=\pi</math>, <math>0\pi=1\pi</math>, а это значит, что <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 2 ==
| |
| Метод, подобный предыдущему. <math>tg0=tg\pi</math>, значит, <math>0=\pi</math>, <math>0\pi=1\pi</math>, и в конце концов <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 3 ==
| |
| Метод, напоминающий два предыдущих. <math>cosec 0=cosec \pi</math>, таким образом, <math>0=\pi</math>, или <math>0\pi=1\pi</math>, откуда вытекает искомое равенство <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 4 ==
| |
| <math>cos\frac{\pi}{2}=cos\frac{3\pi}{2}</math>, следственно <math>\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}</math>, <math>3=2</math>, откуда выходит, что <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 5 ==
| |
| <math>ctg\frac{\pi}{2}=ctg\frac{3\pi}{2}</math>, значит, <math>\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}</math>, <math>3=2</math> и <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 6 ==
| |
| <math>sec\frac{\pi}{2}=sec\frac{3\pi}{2}</math>, таким образом получаем, что <math>\frac{\pi}{2}=\frac{3\pi}{2}</math>, <math>3=2</math>, следственно,<math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 7 ==
| |
| <math>sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}</math>, откуда можно предположить, что <math>sin0=cos0</math>, значит, <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Тригонометрический метод 8 ==
| |
| <math>sin\frac{\pi}{4}=cos\frac{\pi}{4}</math>, следственно, <math>sin\frac{\pi}{2}=cos\frac{\pi}{2}</math>, и, таким образом, <math>0=1</math>, что и следовало доказать.
| |
| | |
| == Метод производных ==
| |
| Как известно, <math>x'=1</math> при любом <math>x</math>. Но, подставив вместо <math>x</math> любое число, получаем, что производная становится равной <math>0</math>. Следственно, <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод Шибуршина Вздрюченного, математика XXXVI века до н.э ==
| |
| Во времена Шибуршина Вздрюченного познания математики позволяли только прибавлять и отнимать единицу, но уже тогда имелось доказательство того, что <math>1=-1</math>. Доказав это утверждение, мы сможем доказать и то, что <math>1=0</math>, для этого достаточно будет прибавить единицу и разделить обе части равенства на два.
| |
| | |
| Рассмотрим сумму бесконечного ряда <math>S=1+1-1+1-1+1-1...</math>. Представим её в виде <math>S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1</math>. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем <math>S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1</math>, то есть <math>S=1=-1</math>, значит <math>1=-1</math>, откуда, как доказано выше, вытекает, что <math>1=0</math>.
| |
| | |
| == Канадский метод ==
| |
| Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что <math>\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}</math>. Значит, <math>\sqrt {\frac{-1}{1}} = \sqrt {\frac{1}{-1}}</math>. Таким образом, <math>\frac{\sqrt {-1}}{\sqrt1}=\sqrt1\cdot \sqrt {-1}</math>. Так как <math>\sqrt {-1}=i</math>, запишем равенство следующим образом: <math>\frac{i}{1}=\frac{1}{i}</math>. Разделим обе части на <math>2</math>, получим <math>\frac{i}{2}=\frac{1}{2i}</math>. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение <math>\frac{3}{2i}</math>, получим <math>\frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}</math>. Теперь умножим обе части на <math>i</math>, получим <math>i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i})</math>, раскроем скобки: <math>\frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i}</math>. Так как <math>i^2=-1</math>, получаем <math>\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}</math>. Посчитав, получим, что <math>1=2</math>, а отняв <math>1</math>, найдем требуемое равенство: <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод сравнения ==
| |
| Возьмем два произвольных положительных равных числа <math>a</math> и <math>b</math> и напишем для них следующие очевидные нестрогие неравенства: <math>a \ge -b</math>, <math>b \ge -b</math>. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство <math>ab \ge b^2</math>, а после его деления на <math>b</math>, что вполне законно, так как по условию <math>b>0</math>, придем к выводу, что <math>a \ge b</math>
| |
| | |
| Записав же два других столь же бесспорных неравенства <math>a \ge -a</math>, <math>b \ge -a</math>. Действуя аналогично предыдущему получим, что <math>ab \ge a^2</math>, а разделив на <math>a</math> (так как <math>a>0</math>), придем к неравенству <math>b \ge a</math>.
| |
| | |
| Итак, <math>a \ge b \ge a</math>, что возможно только при <math>a=b</math>. Если <math>a=4</math>, <math>b=5</math>, то получим, что <math>4=5</math>, откуда, отняв от обеих частей равенства <math>4</math>, получим <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод деления на ноль ==
| |
| | |
| Справедливо выражение <math>\frac{a}{a}=1</math>, значит <math>\frac{0}{0}=1</math>, но <math>\frac{0}{0}=x</math> (<math>x</math> — любое число). Возможно, <math>x=0</math>, в таком случае, <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод очевидного ==
| |
| Очевидно, что <math>0=1</math>. Доказано.
| |
| | |
| == Метод смены системы счисления ==
| |
| Возьмем <math>02</math>, поменяем систему счисления на двоичную, получим <math>10</math>. Значит <math>02=10</math> и в частности <math>0=1</math> и <math>2=0</math>.<br />
| |
| Проверка:
| |
| <math>0=1</math>. Умножаем на 2.<br />
| |
| <math>0=2</math>. От смены приравниваемых истинность не меняется, поэтому:<br />
| |
| <math>2=0</math>. Получили второй результат.<br />
| |
| Доказано с двойной точностью.
| |
| | |
| == Индуктивный метод ==
| |
| '''0 Ничего = 1 Ничему.'''<br />
| |
| '''0 Копеек = 1 Копейке.'''<br />
| |
| '''0 Баллов = Колу = 1 Баллу.'''<br />
| |
| '''0 Микробов = 1 Микробу.'''<br />
| |
| | |
| Так как эти частные случаи выполняются, значит, по индукции получаем:<br />
| |
| '''0 чего угодно = 1 чего угодно.'''<br />
| |
| или<br />
| |
| <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Адедуктивный метод ==
| |
| <math>0=1</math>. Умножим обе части на 0. Получим <math>0=0</math>, что очевидно верно. Как известно из основ логики, если из нашего утверждения следует верное утверждение, значит оно верно. Доказано.
| |
| | |
| == Юридический метод ==
| |
| Пока еще никто не доказал, что <math>0\ne1</math>. Значит, необходимо считать, что <math>0=1</math>
| |
| | |
| == Математический метод ==
| |
| В математике все постулируется. Значит, весь вопрос в том, что постулировать — <math>0\ne1</math> или <math>0=1</math>. Выбираем <math>0=1</math>. Доказано.
| |
| | |
| == Физический метод ==
| |
| Рассмотрим выражение <math>10^{100} = 10^{100}</math>. Так как <math>10^{100}</math> значительно больше 1, то единицей всегда можно пренебречь. Следовательно, прибавив 1, мы существенно ничего не изменим. Получаем <math>10^{100} = 10^{100}+1</math>. Отнимем <math>10^{100}</math>, получим требуемое <math>0 = 1</math>.
| |
| | |
| == Общепрограммерский метод ==
| |
| Первый элемент всегда обозначается нулевым индексом. Значит, первый — это нулевой. Отсюда выходит, что один равно нулю, а ноль одному: <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод С++ ==
| |
| См. код: <math>a=0</math>; <math>a=a+1</math>. Подставляя <math>a</math>, получаем, что <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Упрощённый метод С++ ==
| |
| Возьмём строку из предыдущего метода: <math>a=a+1</math>. Вычтем <math>a</math>, и получим искомое равенство <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == [[Вики-Вики|Вики]]-метод ==
| |
| В любом вики-проекте 3 тильды дают только подпись, 5 тильд — только время, а 4 — подпись и время. Отсюда <math>3+5=4</math>; <math>8=4</math>. Разделим обе части на 4 (<math>2=1</math>) и вычтем по единице (<math>1=0</math>). По свойству коммутативности <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Метод от противного ==
| |
| Предположим, что <math>0=1</math> — это неверное равенство.<br />Ну и зачем мы это все столько времени доказывали? Незачем. Противно.<br />Значит, быть этого не может.<br />
| |
| Но факт или есть, или нет. Пришли к противоречию.<br />
| |
| Итак, <math>0=1</math> — верное равенство.
| |
| | |
| == Метод для ленивых ==
| |
| Если верить материалам статьи «[[Всеобщее равенство (математика)]]», все числа равны между собой и равны <math>0</math>, значит, и <math>0=1</math> в частности.
| |
| | |
| == Метод для умных ленивых ==
| |
| Исходя из определения [[Всеобщее равенство (математика)|всеобщего равенства]], берём числовое равенство <math>2=\sqrt{2}</math>. Как известно, <math>-log_{2}log_{2}2=0</math>, а <math>-log_{2}log_{2}\sqrt{2}=1</math>, следственно, <math>0=1</math>, что и требовалось доказать.
| |
| | |
| == Из [[нольугольник]]а ==
| |
| То, что <math>0=1</math>, можно убедится, рассмотрев геометрическую фигуру нольугольник, у которой одна сторона и ноль углов. Учитывая, что в любом многоугольнике каждая сторона ограничена двумя вершинами, то есть углами, и из любого угла выходят две стороны, получаем, что число углов должно быть равно число сторон. То есть <math>0=1</math>.
| |
| | |
| == Метод обобщённых цепных дробей ==
| |
| Мы знаем, что <math>1=\frac{2}{3-1}</math>. Заменим 1 в знаменателе на правую часть данного неравенста и повторим так бесконечное числ раз: <math>1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac {2}{3-...}}}</math>
| |
| | |
| Но проделывая тоже самое с равенством <math>2=\frac{2}{3-2}</math>, получаем, что <math>2=\frac{2}{3-\frac {2}{3-\frac{2}{3-...}}}</math>.
| |
| | |
| Полученные цепные дроби равны, следовательно <math>1=2</math>. Вычитая из обоих частей <math>1</math>, получаем, что <math>0=1</math>. Quod erat emonstrandum.
| |
| | |
| == Очевидно неправильный ==
| |
| Так же называется методом добавления утверждения.
| |
| | |
| Рассмотрим два утверждения:<br />
| |
| 1. <math>0=1</math><br />
| |
| 2. Оба утверждения ложны.<br />
| |
| | |
| Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда первое и второе ложно. Пришли к противоречию. Значит второе ложно и хотя бы одно утверждение из двух истинно.<br />
| |
| Мы уже доказали, что второе не может быть истинным, значит истинно первое — <math>0=1</math>. Что и требовалось доказать.<br />
| |
| | |
| <small>Примечание: Название метода — всего лишь дань истории. Не обращайте на него внимания. Современная Сократова математика полностью подтверждает правильность данного метода. Да и как может быть неверным метод, доказывающий то, что уже было доказано 42 раза. </small>
| |
| | |
| == См. также ==
| |
| * [[Всеобщее равенство (математика)|Всеобщее равенство]]
| |
| * [[Список чисел]]
| |
| | |
| [[Категория:Математика]]
| |
| [[Категория:Наука]]
| |
| [[Категория:Парадоксы]]
| |
| [[Категория:Теоремы]]
| |
| {{R|oldid=179383|user=Edward Chernenko}}
| |
| | |
| [[en:All numbers are equal to zero]]
| |