Формальная система
Ммм-м, всё понятно! Пурген наружно, Формальную систему внутрь.~ Доктор Ай-Болит про Незнайку
Нееет! Формальную систему наружно! Пурген внутрь!~ Неграмотный Незнайка о математике
Формальная система (phormalinus systemus — формалинус системус) — результат строгой формальности, предполагающей полную абстракцию от смысла слов используемого языка, причём причины, регулирующие употребление этих слов, определяются посредством аксиом и правил, позволяющих вывести из встреченных фраз ещё одну, более кошерную.
Важные принципы[править]
Формальная система — это совокупность абстрактных объектов (sic!), очень слабо связанных с внешним миром. Что не может не доставлять. Также очень важно, что эта совокупность полностью определяет правила оперирования множеством символов без учета смыслового содержания, главное — строго синтаксическая трактовка. Сейчас это уже очень строго описано учёными, поэтому с этими формальностями уже никто не спорит. Просто надо строго формально к этому относиться.
Основные определения[править]
Формальная теория считается кошерной, если:
- Задано конечное множество произвольных символов.
- Конечные последовательности символов называются выражениями (типа: «Эне бене раба квинте финте жаба»).
- Имеется подмножество выражений, называемых формулами («Эне бене»).
- Выделено подмножество формул, называемых аксиомами. (А это вам задание на дом, сами выделите).
- Имеется конечное множество отношений между формулами, называемых правилами вывода, позволяющих написать любой трактат, рассказ, научную статью, поэму или политический призыв.
Как правильно пользоваться[править]
Обычно быстро находится эффективная процедура, позволяющая по попавшемуся выражению определить, является ли оно формулой и годится ли для дальнейшего использования. Часто множество формул подбирается индуктивно (индуктивным методом). Но это не должно никого пугать. Как правило, это множество бесконечно и что вы оттуда выберете, вообще без разницы.
Основное применение[править]
В настоящее время указанные выше основные положения широко используются для быстрейшего наполнения Всемирной Паутины. За примерами долго ходить не надо.
Дальнейшее применение (для особо любознательных)[править]
В 30-е гг. XX века Курт Гёдель показал, что есть целый класс ФТ первого порядка, являющихся неполными. Более того, формула, утверждающая правильность ФТ, не получается средствами самой ФТ (см. его Теоремы о неполной полноте). Этот вывод имел огромное значение! Так как формальная арифметика тоже является как раз такой теорией, то следовательно, и сама арифметика и все теории, содержащие эту арифметику, в том числе теория чисел, являются не совсем полными (или совсем неполными?)
На основе расчётов Гёделя, чтобы формальные арифметики не сильно задирали свой нос перед формальными арифмометрами, были сформулированы две теоремы:
- В каждой проработанной системе доказательств содержится по крайней мере одно ошибочное недоказуемое утверждение.
- Истинность формальной системы доказывается тем, что она каким-то образом работает, несмотря на неверные предпосылки тех, кто её придумал.
