Сферху
|
Информация, изложенная здесь, может показаться вам фактами. А может и нет. |
Сфе́рху — понятие, означающее расположение одного объекта относительно другого в сферической системе координат. Объект А находится сферху по отношению к объекту B, если радиальная координата первого больше, чем второго: . Напротив, объект B в этом случае находится снизху по отношению к объекту A.
Связанные определения[править]
Прямая, соединяющая две точки, одна из которых находится сферху другой, называется сферхтикалью. Множество точек, ни одна из которых не находится сферху другой, называется сферхизонталью. Если точка A произвольного метрического многообразия принадлежит некоторому множеству точек M и существует некоторое положительное ε такое, что для любой точки B, не совпадающей с А, находящейся на расстоянии δ<ε от А и принадлежащей множеству M, точка A находится сферху, эта точка называется сфершиной множества М.
Гипотеза Пуанкаре[править]
Используя последнее определение, легко доказать, что всякое n-мерное многообразие гомотопически эквивалентно n-мерной сфере тогда и только тогда, когда оно гомеоморфно ей (предлагается читателю как самостоятельное упражнение).
Свойства[править]
Бинарное отношение «быть сферху» между двумя объектами является отношением порядка и обладает следующими свойствами:
- Транзитивность: Если А находится сферху по отношению к B и B находится сферху по отношению к C, то A находится сферху по отношению к C.
- Антисемитричность: Если А находится сферху по отношению к B, то B находится снизху по отношению к А.
- Антирефлексивность: Ни один объект не может находиться сферху по отношению к самому себе.
В связи с антирефлексивностью, отношение «быть сферху» является отношением строгого порядка. Для любой данной сферической системы координат оно вводит на множестве объектов полную упорядоченность. Однако оно не является полным, так как существуют объекты, ни один из которых не находится сферху по отношению к другому.
Пример[править]
Рассмотрим Ктулху в его собственной системе отсчета. В настоящее время Ктулху находится снизху по отношению ко всем (кроме самого себя). Но когда Ктулху наконец проснётся и зохаваит всех, то он будет находиться сферху по отношению ко всем (за исключением опять же самого себя). Кстати, этот пример иллюстрирует преобразование инверсии.
Расширение понятия[править]
Некоторые математики вводили отношения «слевху», «справху», «спередху» и «сзадху». Однако они не связаны со сферической симметрией и поэтому неудобны и малоупотребительны. В то же время в задачах, обладающих одновременно элементами сферической симметрии и выделенным направлением, могут быть введены отношения «полусферху» (и «полуснизху»); в частности, они продуктивны в задачах морской и воздушной навигации, где может быть выделена верхняя (нижняя, передняя и т. п.) полусфера.
В пространствах постоянной отрицательной кривизны можно по аналогии с евклидовым пространством ввести понятия «псевдосферху» и «псевдоснизху». В пространствах с числом размерностей более трёх используются отношения «четырёхсферху», «пятисферху», …, «N-сферху» (и соответственно «-снизху»). В компактных метрических пространствах понятия «сферху» и «снизху» и их расширения не применимы в связи с неоднозначностью определения радиальной координаты.
