Пушка Галуа

Пушка Галуа (англ. Galois Group Gun, нем. Gruppenhaubitze) — артиллерийского орудие алгебраического типа.

Принцип действия

Рассмотрим группу G и гомоморфизм $\varphi :G\longrightarrow C_{1}\quad \varphi :x\mapsto 1$, переводящий любой элемент группы G в нейтральный элемент группы C₁ (циклическая группа порядка 1). Тогда, согласно определению ядра гомоморфизма, $\ker \varphi =\left\{x\in G\mid \varphi (x)=1\right\}=G$. Таким образом, любая группа является ядром некоторого гомоморфизма и служит снарядом для Пушки Галуа.

Примечание: для любой группы можно найти нетривиальный гомоморфизм некоторой надгруппы, такой что данная группа является его ядром.

Устройство

Общая схема Пушки Галуа слишком сложна и громоздка, однако можно выделить основные компоненты, из которых составляются.

• Сумматор / умножатор — устройство с двумя входами и одним выходом. На входы подаются элементы группы, на выходе получается элемент группы, называемый соответственно их суммой/произведением. На схемах обозначается как + / *.
• Нифигатор — устройство, по запросу артиллериста-алгебраиста выдающее элемент группы, называемый нейтральным (ноль/единица), который при подаче на один из входов сумматора/умножатора заставляет последний выдавать на выходе то, что поступило на второй вход. На схемах обозначается как е (или 0 / 1).
• Обращатор — один вход и один выход, по полученному элементу возвращает элемент, называемый обратным, такой, что при подаче исходного и полученного на сумматор на выходе получается то же, что и на выходе нифигатора. На схемах обозначается как -x / x⁻¹.
• Подгруппа — общее название для частей снаряда (группы), которые сами по себе являются снарядами (группами) (в общем случае обозначается как $\leq$).
  • Тривиальная — часть, соединяющая все части снаряда, так как содержится в каждой из них, а именно {e}.
  • Центр — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с любой другой частью без изменения функциональности. Обозначается за C(G).
  • Централизатор элемента — компоненты снаряда, которые можно поменять местами с данным. Обозначается за С_G(x). Централизатор множества — общая часть централизаторов компонентов данного множества.
  • Нормализатор множества — компоненты снаряда, которые можно поменять местами со всем даннм множеством компонент целиком. Обозначается за N_G(x).
  • Нормальная — часть снаряда, которую можно поменять местами с любым элементом. Обозначается на схемах с помощью символа $\trianglelefteq$.
• Смежный класс — результат последовательно пропускания через умножатор некоторого подмножества и некоторого элемента. Причём если элементы множества подаются на первый вход, а элемент (всегда один и тот же) на второй, то результат называется левым смежным классом данного множества по данному элементу, в противоположном случае — правым. Обозначаются соответственно за Hx и xH.
• Индекс — измерительный прибор, подсчитывающий количество смежных классов. Обозначается как |G : H|.
• Факторизатор — устройство с двумя входами, получающее группу и её нормальную подгруппу и выдающая по ним множество всех правых смежных классов как группу. Обозначается на схемах как G / H.

Классификация

• Простейшей разновидностью Пушки Галуа служит Коммунистическая фактор-пушка, которой посвящено стихотворение:

гомоморфный образ группы
будь во славу коммунизма
изоморфен фактор-группе
по ядру гомоморфизма

~ народное творчество

Специально обученный алгебраист подаёт на вход некоторую группу и некоторый гомоморфизм (снаряд и порох), которые проходят обработку в специальном факторизаторе, где сначала создаётся ядро гомоморфизма, а затем группа факторизуется по полученному ядру. Результат переходит в дуло пушки, оборудуется специальным навигационным блоком типа ${\overline {\varphi }}:x\ker \varphi \mapsto \varphi (x)$ и выстреливается точь-в-точь (1-в-1, биекция) на $\mathrm {Im} \ \varphi$ по правилу $\mathrm {Im} \ \varphi \cong G/{\ker \varphi }$.

Схема Нётеровой мортиры

• Другой известной вариацией является Нётерова мортира (нем. Noetherscher Isomorphiesatz Mörser). Основным отличием от Коммунистической фактор-пушки является наличие двух параллельных факторизаторов и необходимость в боприпасах специального вида. На вход подаётся группа G, содержащая в себе нормальную подгруппу H и подгруппу F, после разделения H поступает в первый факторизатор, F во второй, кроме того, в первый факторизатор сверху также поступает $\left\langle F,H\right\rangle$ (порождение Зла F и G, оно же $FH$), а во второй снизу поступает $F\cap H$. Также на вход мортире подаётся гомоморфизм $\varphi :F\longrightarrow FH\longrightarrow FH/H\quad \varphi :f\mapsto fH$, состоящий из вложения и канонической проекции. В таком случае ядром является $\ker \varphi =F\cap H$, а образом $\mathrm {Im} \ \varphi =FH/H$, и стрельба осуществляется по правилу $F/F\cap H\cong FH/H$.

• Сдвоенное орудие фон Дика (нем. von Dyck Doppelgeschütz) — модификация Коммунистической фактор-пушки, отличающаяся наличием двух последовательных факторизаторов (в отличие от Нётеровой мортиры, где факторизаторы параллельны), и стреляющая по правилу $\left(G/F\right)/\left(H/F\right)\cong G/H$ (на вход подаются $F,H\trianglelefteq G\quad F\leq H$).

• Квадратная фактор-пушка — двухствольная Коммунистическая фактор-пушка. На вход подаются $H_{1}\trianglelefteq G_{1}$ и $H_{2}\trianglelefteq G_{1}$, стреляет по правилу $\left(G_{1}\times G_{2}\right)/\left(H_{1}\times H_{2}\right)\cong \left(G_{1}/H_{1}\right)\times \left(G_{2}/H_{2}\right)$.

• Мультипликативная Комплексная Плюс-Минус-Один Гаубица (сокр. МК±1Г) — специальная разновидность Коммунистической фактор-пушки, предназначенная для борьбы с империалистическим злом и буржуазными заговорами. Ядром служит группа $\left\{\pm 1\right\}$, гомоморфизмом служит $z^{2}:\mathbb {C} \longrightarrow \mathbb {C} \quad z\mapsto z^{2}$. Черпает мнимую силу, и потому не работает, как предполагается. На практике не используется, так как стреляет сама в себя — $\mathbb {C} ^{\star }/\left\{\pm 1\right\}\cong \mathbb {C} ^{\star }$

Прочие вариации

• В 1872 году норвежский инженер Людвиг Силов предложил три алгебраических орудия, в основу которых была заложена одна и та же идея. Они получили общее название Силовские p-ушки:
  • Силовский экзистенциональный генератор находит в расположении частей врага произвольную конечную группу (снаряд), после чего внутри неё генерируется снаряд специального вида (называемый Силовским p-подснарядом), который и подрывается, уничтожая боезапас противника.
  • Силовский надгруппатор — модификация экзистенциального генератора, которая все вражеские p-снаряды засовывает в Силовские p-снаряды, которые и подрывает. Также умеет сопрягать Силовские p-снаряды, однако назначение подобной функциональности непонятно.
  • Количественное орудие Силова — не наносит непосредственных повреждений снарядам противника, однако весьма полезно при совместном применении с другими Силовскими орудиями, так как позволяет использовать для полного уничтожения всего один снаряд (по модулю p).