0=1

0=1 (ноль равняется единице; число ноль равняется числу один) — это один из случаев всеобщего равенства. Доказывается многими — похожими и отличающимися — методами.

Метод возведения в степень

Следует обратить внимание, что $a^0=1$ (1), однако $0^a=0$ (2). Подставим $a=0$. Следовательно формуле (2), $0^0=0$, но, исходя из формулы (1), $0^0=1$. Таким образом, $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод степеней единицы

Как известно, $1^a=1$, таким образом, $1^1=1^0=1$. Но, если равны основания степеней и их значения, то равны и показатели, то есть $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод умножения

Справедливо равенство $0\cdot 0=0\cdot 1$. Поделим это выражение на $0$. Получим: $\frac{0}{0}\cdot 0=\frac{0}{0}\cdot 1$, отсюда выходит, что $0=1$.

Упрощённый метод умножения

Дано: $0\cdot 0=0\cdot 1$. Так как $0=0$, то $0=1$.

Факториальный метод

Обычно факториалы разных чисел имеют разное значение. Однако $0!=1$ и $1!=1$, то есть $0!=1!$. Ссылаясь на ранее написанное, можно сказать, что $0=1$.

Метод вынесения множителей

Справедливо равенство $\frac{4}{4}=\frac{5}{5}$. Вынесем общий множитель: $4\cdot \frac{1}{1}=5\cdot \frac{1}{1}$. Сократим: $4=5$. Вычтем 4 и получим искомое равенство.

Метод деления

Допустим, что есть некое равенство $a-b=0$. А теперь поделим каждую сторону это равенства на $a-b$. Получим: $\frac{a-b}{a-b}=\frac{0}{a-b}$, или $1=0$.

Метод логарифмирования

Согласно формулам, $lo{g}_{a}a=1$ и $lo{g}_{a}1=0$. Подставим $a=1$. Получим: из первой формулы $lo{g}_{1}1=1$, но из второй формулы $lo{g}_{1}1=0$. Это значит, что $0=1$, что требовалось доказать.

Алгебраический метод

Метод, подобный тому, что предложен в статье «Всеобщее равенство». Рассмотрим равенство $a=b+c$. Умножим обе его части на $a-b$. Получим: $a^2-ab=ab+ac-b^2-bc$, то есть $a^2-ab-ac=ab-b^2-bc$. Разложим на множители, получим $a(a-b-c)=b(a-b-c)$, сокращаем, получаем $a=b$. То есть, подставив $a=1$, $b=0$, получим требуемое равенство. Впрочем, этот метод годится для доказательства равенства всех чисел.

Метод составления уравнения

Возьмём $x=1$. Это то же самое, что и $x-1=0$. Добавим $x$, получим: $2x-1=x$. Вычитаем единицу: $2x-2=x-1$. Выносим общий множитель за скобку: $2(x-1)=x-1$, и полученное выражение делим на $x-1$. Получаем: $2=1$. Вычитая из этого равенства единицу, получаем искомое выражение: $1=0$. Что и следовало доказать.

Иррациональный метод

Докажем сначала, что $1=-1$. Понятно, что $\sqrt{-1}=\sqrt{-1}$. Представим в левой части равенства $-1=\frac{-1}{1}$, а в правой $-1=\frac{1}{-1}$. Получим $\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$. Известно, что корень из дроби есть корень из числителя делённый на корень из знаменателя. Поэтому $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{-1}}$. По свойству пропорции: $\sqrt{-1}\cdot \sqrt{-1}=\sqrt{1}\cdot \sqrt{1}$. Следовательно, $-1=1$. Прибавив к обеим частям равенства $1$ и разделив их на $2$, получим требуемое равенство $0=1$.

Геометрический метод 1

Равные треугольники

Рассмотрим два треугольника, представленных на рисунке. Площадь первого треугольника равна

$60$

клеточкам, а площадь второго треугольника, составленного из тех же фигур, что и первый треугольник, равна

$58$

клеточкам (две чёрные клетки внутри вырезаны). Получается, что

$58=60$

. Отнимем от обеих частей равенства

$58$

и разделим на

$2$

, получим

$\frac{58-58}{2}=\frac{60-58}{2}$

, то есть

$0=1$

, что и требовалось доказать.

Геометрический метод 2

Докажем сначала, что все треугольники — равносторонние.

Чертёж

Рассмотрим произвольный

$\mathrm{\Delta }ABC$

. Проведем биссектрису угла

$B$

и серединный перпендикуляр к стороне

$AC$

; точку их пересечения назовем

$O$

. Опустим из нее перпендикуляры

$EO$

и

$OF$

на стороны

$AB$

и

$BC$

соответственно.

Так как $DO$ одновременно и высота, и медиана $\mathrm{\Delta }AOC$, то он равнобедренный и $AO=OC$. Так как $BO$ — биссектриса, то, из равенства $\mathrm{\Delta }EBO$ и $\mathrm{\Delta }OBF$ (откуда $EB=BF$), $EO=OF$. Следовательно, $\mathrm{\Delta }AEO=\mathrm{\Delta }FCO$, то есть $AE=FC$. Отсюда, так как $AB=AE+EB$ и $BC=BF+FC$, $AB=BC$. Проведя такое же рассуждение для основания не $AC$, а, например, $AB$, получим, что $BC=CA$.

Из этого следует, что все треугольники на свете — равносторонние.

Теперь рассмотрим прямоугольный $\mathrm{\Delta }ABC$ с гипотенузой $AB$. По доказанному выше, $AB=BC=AC=a$, а по теореме Пифагора, $A{B}^2=B{C}^2+A{C}^2$. Имеем: $a^2=2a^2$ или $1=2$. Отнимем от обеих частей равенства $1$, получим $0=1$, что и требовалось доказать.

Источник — absolute.times.lv

Тригонометрический метод 1

$sin0=sin\pi$, отсюда вытекает, что $0=\pi$, $0\pi =1\pi$, а это значит, что $0=1$, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 2

Метод, подобный предыдущему. $tg0=tg\pi$, значит, $0=\pi$, $0\pi =1\pi$, и в конце концов $0=1$.

Тригонометрический метод 3

Метод, напоминающий два предыдущих. $cosec0=cosec\pi$, таким образом, $0=\pi$, или $0\pi =1\pi$, откуда вытекает искомое равенство $0=1$.

Тригонометрический метод 4

$cos\frac{\pi }{2}=cos\frac{3\pi }{2}$, следственно $\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$, $3=2$, откуда выходит, что $0=1$.

Тригонометрический метод 5

$ctg\frac{\pi }{2}=ctg\frac{3\pi }{2}$, значит, $\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$, $3=2$ и $0=1$, что и требовалось доказать.

Тригонометрический метод 6

$sec\frac{\pi }{2}=sec\frac{3\pi }{2}$, таким образом получаем, что $\frac{\pi }{2}=\frac{3\pi }{2}$, $3=2$, следственно,$0=1$.

Тригонометрический метод 7

$sin\frac{\pi }{4}=cos\frac{\pi }{4}$, откуда можно предположить, что $sin0=cos0$, значит, $0=1$.

Тригонометрический метод 8

$sin\frac{\pi }{4}=cos\frac{\pi }{4}$, следственно, $sin\frac{\pi }{2}=cos\frac{\pi }{2}$, и, таким образом, $0=1$, что и следовало доказать.

Метод производных

Как известно, $x^{\prime }=1$ при любом $x$. Но, подставив вместо $x$ любое число, получаем, что производная становится равной $0$. Следственно, $0=1$.

Метод Шибуршина Вздрюченного, математика XXXVI века до н. э.

Во времена Шибуршина Вздрюченного познания математики позволяли только прибавлять и отнимать единицу, но уже тогда имелось доказательство того, что $1=-1$. Доказав это утверждение, мы сможем доказать и то, что $1=0$, для этого достаточно будет прибавить единицу и разделить обе части равенства на два.

Рассмотрим сумму бесконечного ряда $S=1+1-1+1-1+1-1...$. Представим её в виде $S=1+(1-1)+(1-1)+(1-1)...=1+0+0+0...=1$. Теперь представим S теми же слагаемыми, но начиная с последнего. Имеем $S=-1+1-1+1-1+1-1=-1+(1-1)+(1-1)+(1-1)=-1+0+0+0=-1$, то есть $S=1=-1$, значит $1=-1$, откуда, как доказано выше, вытекает, что $1=0$.

Канадский метод

Метод, предложенный канадскими учёными. Понятно, что $\frac{-1}{1}=\frac{1}{-1}$. Значит, $\sqrt{\frac{-1}{1}}=\sqrt{\frac{1}{-1}}$. Таким образом, $\frac{\sqrt{-1}}{\sqrt{1}}=\sqrt{1}\cdot \sqrt{-1}$. Так как $\sqrt{-1}=i$, запишем равенство следующим образом: $\frac{i}{1}=\frac{1}{i}$. Разделим обе части на $2$, получим $\frac{i}{2}=\frac{1}{2i}$. Далее, прибавим к обеим частям равенства выражение $\frac{3}{2i}$, получим $\frac{i}{2}+\frac{3}{2i}=\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i}$. Теперь умножим обе части на $i$, получим $i(\frac{i}{2}+\frac{3}{2i})=i(\frac{1}{2i}+\frac{3}{2i})$, раскроем скобки: $\frac{i^2}{2}+\frac{3i}{2i}=\frac{i}{2i}+\frac{3i}{2i}$. Так как $i^2=-1$, получаем $\frac{-1}{2}+\frac{3}{2}=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}$. Посчитав, получим, что $1=2$, а отняв $1$, найдем требуемое равенство: $0=1$.

Метод сравнения

Возьмем два произвольных положительных равных числа $a$ и $b$ и напишем для них следующие очевидные нестрогие неравенства: $a\ge -b$, $b\ge -b$. Перемножив оба эти неравенства почленно, получим неравенство $ab\ge b^2$, а после его деления на $b$, что вполне законно, так как по условию $b>0$, придем к выводу, что $a\ge b$

Записав же два других столь же бесспорных неравенства $a\ge -a$, $b\ge -a$. Действуя аналогично предыдущему получим, что $ab\ge a^2$, а разделив на $a$ (так как $a>0$), придем к неравенству $b\ge a$.

Итак, $a\ge b\ge a$, что возможно только при $a=b$. Если $a=4$, $b=5$, то получим, что $4=5$, откуда, отняв от обеих частей равенства $4$, получим $0=1$.

Метод деления на ноль

Справедливо выражение $\frac{a}{a}=1$, значит $\frac{0}{0}=1$, но $\frac{0}{0}=x$ ($x$ — любое число). Возможно, $x=0$, в таком случае, $0=1$.

Метод очевидного

Очевидно, что $0=1$. Доказано.

Метод смены системы счисления

Возьмем $02$, поменяем систему счисления на двоичную, получим $10$. Значит $02=10$ и в частности $0=1$ и $2=0$.
Проверка: $0=1$. Умножаем на 2.
$0=2$. От смены приравниваемых истинность не меняется, поэтому:
$2=0$. Получили второй результат.
Доказано с двойной точностью.

Индуктивный метод

0 Ничего = 1 Ничему.
0 Копеек = 1 Копейке.
0 Баллов = Колу = 1 Баллу.
0 Микробов = 1 Микробу.

Так как эти частные случаи выполняются, значит, по индукции получаем:
0 чего угодно = 1 чего угодно.
или
$0=1$.

Адедуктивный метод

$0=1$. Умножим обе части на 0. Получим $0=0$, что очевидно верно. Как известно из основ логики, если из нашего утверждения следует верное утверждение, значит оно верно. Доказано.

Юридический метод

Пока еще никто не доказал, что $0\ne 1$. Значит, необходимо считать, что $0=1$

Математический метод

В математике все постулируется. Значит, весь вопрос в том, что постулировать — $0\ne 1$ или $0=1$. Выбираем $0=1$. Доказано.

Физический метод

Рассмотрим выражение $10^{100}=10^{100}$. Так как $10^{100}$ значительно больше 1, то единицей всегда можно пренебречь. Следовательно, прибавив 1, мы существенно ничего не изменим. Получаем $10^{100}=10^{100}+1$. Отнимем $10^{100}$, получим требуемое $0=1$.

Общепрограммерский метод

Первый элемент всегда обозначается нулевым индексом. Значит, первый — это нулевой. Отсюда выходит, что один равно нулю, а ноль одному: $0=1$.

Метод препроцессора EQN

[eqn]

\begin{align}

0 \cdot x &= 0 \\

0 \cdot 0^{-1} &= 1

\end{align}

[/eqn]

Метод С++

См. код: $a=0$; $a=a+1$. Подставляя $a$, получаем, что $0=1$, что и требовалось доказать.

Упрощённый метод С++

Возьмём строку из предыдущего метода: $a=a+1$. Вычтем $a$, и получим искомое равенство $0=1$.

Вики-метод

В любом вики-проекте 3 тильды дают только подпись, 5 тильд — только время, а 4 — подпись и время. Отсюда $3+5=4$; $8=4$. Разделим обе части на 4 ($2=1$) и вычтем по единице ($1=0$). По свойству коммутативности $0=1$, что и требовалось доказать.

Метод от противного

Предположим, что $0=1$ — это неверное равенство.
Ну и зачем мы это все столько времени доказывали? Незачем. Противно.
Значит, быть этого не может.
Но факт или есть, или нет. Пришли к противоречию.
Итак, $0=1$ — верное равенство.

Метод для ленивых

Если верить материалам статьи «Всеобщее равенство (математика)», все числа равны между собой и равны $0$, значит, и $0=1$ в частности.

Метод для умных ленивых

Исходя из определения всеобщего равенства, берём числовое равенство $2=\sqrt{2}$. Как известно, $-lo{g}_{2}lo{g}_{2}2=0$, а $-lo{g}_{2}lo{g}_2\sqrt{2}=1$, следственно, $0=1$, что и требовалось доказать.

Из нольугольника

То, что $0=1$, можно убедится, рассмотрев геометрическую фигуру нольугольник, у которой одна сторона и ноль углов. Учитывая, что в любом многоугольнике каждая сторона ограничена двумя вершинами, то есть углами, и из любого угла выходят две стороны, получаем, что число углов должно быть равно число сторон. То есть $0=1$.

Метод обобщённых цепных дробей

Мы знаем, что $1=\frac{2}{3-1}$. Заменим 1 в знаменателе на правую часть данного неравенста и повторим так бесконечное числ раз: $1=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-...}}}$

Но проделывая тоже самое с равенством $2=\frac{2}{3-2}$, получаем, что $2=\frac{2}{3-\frac{2}{3-\frac{2}{3-...}}}$.

Полученные цепные дроби равны, следовательно $1=2$. Вычитая из обоих частей $1$, получаем, что $0=1$. Quod erat emonstrandum.

Очевидно неправильный

Так же называется методом добавления утверждения.

Рассмотрим два утверждения:
1. $0=1$
2. Оба утверждения ложны.

Предположим, что второе утверждение истинно. Тогда первое и второе ложно. Пришли к противоречию. Значит второе ложно и хотя бы одно утверждение из двух истинно.
Мы уже доказали, что второе не может быть истинным, значит истинно первое — $0=1$. Что и требовалось доказать.

Примечание: Название метода — всего лишь дань истории. Не обращайте на него внимания. Современная Сократова математика полностью подтверждает правильность данного метода. Да и как может быть неверным метод, доказывающий то, что уже было доказано 42 раза.

См. также

• Всеобщее равенство
• Список чисел