Геометрия

Геометрия — раздел математики, все объекты изучения которого преднамеренно упрощены до уровня сферического коня в вакууме. Однако, чтобы школьники (по крайней мере, отличники) не пускали самолётики и не бросались бумажками на уроке геометрии, как это делают на ОБЖ, эта наука была настолько усложнена учёными, что геометрический анализ упрощённых объектов стал гораздо сложнее, чем обычный анализ неупрощённых.

История

Тот самый арбуз, проданный на аукционе Кристис одному дубайцу, принявшему лот за уценённый товар.

Основоположником геометрии считается Евклид. Примерно 2300 лет назад он посетил Страну восходящего солнца, и, когда он проходил мимо одного из домов, ему на голову упал арбуз кубической формы, который, как оказалось, рос на грядке, находящейся на балконе. От такой тяжёлой ягоды Евклид получил сотрясение мозга, слишком сильное для того, чтобы открыть закон всемирного тяготения, и в результате он смог открыть лишь геометрию с её упрощёнными, как у упавшего арбуза, формами.

Применение геометрии в практических целях было известно ещё в Древней Греции. Известен случай, когда Архимеду понадобилось найти объём короны, имеющей, как известно, довольно сложную форму. Зная, что вычисление объёма путём погружения в воду даст серьёзную погрешность за счёт постепенного испарения и поверхностного натяжения, учёный решил прибегнуть к непосредственным измерениям, используя свои глубокие познания в геометрии. Установив, что форма короны наиболее близка к цилиндрической, Архимед измерил лишь высоту и диаметр короны и по формуле объёма цилиндра быстро вычислил искомый объём. В результате выяснилось, что бескорыстный ювелир не только израсходовал всё золото для изготовления короны, а ещё и добавил 10 кг от себя.

Упоминаемая корона практически цилиндрической формы.

Основной проблемой геометрии в древние века, когда ещё не было таких графических редакторов, как Necrosoft Paint, было построение геометрических объектов с помощью циркуля и линейки. С помощью линейки учёные могли построить отрезок, ломаную линию и многоугольник, однако длина начерченных линий не могла превышать 30 см (точнее, с учётом всех делений линейки, 30,6 см). Ещё хуже обстояло дело с циркулем: этим инструментом можно было начертить только точку, которую оставлял грифель в центре, в то время как вращаемая вокруг него игла лишь царапала бумагу.

В настоящее время благодаря научно-техническому прогрессу учёные в состоянии выполнить любые геометрические построения, порой состоящие из десятков элементов, поэтому и основные проблемы геометрии стали гораздо более серьёзными.

Основные геометрические объекты

Мельчайшей единицей геометрии является точка — объект нулевых размеров по всем параметрам, поэтому можно считать, что наличие точки тождественно её отсутствию, что подтверждается Малой теоремой Ферма. Эталоном точки в настоящее время считается душа кота Шрёдингера, которая аналогично существует и не существует одновременно. Фотон также предлагался в качестве эталона, но не был одобрен учёными по причине нефотоногеничности точки.

Изящное доказательство ничтожности размеров каждой отдельной точки продемонстрировал чемпион Праги по игре в точки Точек Ставица. За свою трёхмесячную профессиональную карьеру он сыграл 42 напряжённых матча, поставив в общей сложности более 3000 точек. Всё это время он использовал одну и ту же ручку. Более того, ею можно было писать даже после столь длительной эксплуатации, что свидетельствует о бесконечно малом объёме чернил, затрачиваемых на 1 точку, и, как следствие, её ничтожности.

На этом построении: AC — прямая линия, BC — отрезок, AB — обрезок.

Примером более крупного объекта может служить отрезок — часть прямой линии, которую отрезали от основной её части. Оставшуюся же обрезанную часть принято называть обрезком.

Сама по себе прямая линия, как и линия вообще — это геометрический объект, который под силу нарисовать обычному человеку. Если же прямая линия настолько длинная, что её может начертить разве что зацикленный аутист, то она не является линией по определению и именуется просто как прямая, длину которой условно принимают за бесконечность, чтобы не забивать голову большими числами.

Существует распространённое заблуждение, что если посмотреть прямой в торец, то можно увидеть точку. Ни в коем случае нельзя этого делать! Как только наблюдатель попытается заглянуть на прямую сбоку, прямая тут же проткнёт ему глазное яблоко и мозг и выйдет через затылок, устремившись в бесконечность. Но если всё-таки очень хочется взглянуть на прямую сбоку, то нужно предварительно разрезать прямую на 2 луча и только потом посмотреть на оба по очереди (смотреть только со стороны разреза!). Затем следует мысленно преобразовать обе увиденные точечные проекции в одну в соответствии с Малой теоремой Ферма (0=1; 1=2) и радоваться полученному результату, совпавшему с изначальным заблуждением.

При попытке соединить два луча вместе прямая практически никогда не получается. Результат сопоставления двух лучей называется угол или угольник. Полученный геометрический объект обладает способностью к созданию разнообразных комбинаций и композиций по системе многих единиц. Если бесчисленное множество одинаковых угольников выстроить в ряд (параллельное соединение), то получается грань, за которой начинается невозможное и непостижимое уму человеческому. В результате последовательного соединения угольников формируются геометрические фигуры: многоугольники или многогранники.

Ещё более массивным по своей структуре объектом является плоскость — пространство, находящееся под постоянным давлением с обеих сторон, равным $\infty$ Па. Геометрические фигуры на плоскости — это не что иное, как бывшие объёмные тела, оказавшиеся под таким же давлением. Этот факт легко доказывается на практике на примере асфальтоукладчика и какого-либо объёмного человеческого тела, не обладающего высокой прочностью.

Величину всех основных геометрических объектов можно выразить в точках следующим образом:

1. Отрезок — $\infty$ точек.
2. Луч — $\infty$ отрезков, или $\infty ^{2}$ точек.
3. Прямая — 2 луча, или $2\infty ^{2}$ точек
4. Бесконечная полоса, ограниченная двумя параллельными прямыми — $\infty$ прямых, или $2\infty ^{3}$ точек.
5. Полуплоскость — $\infty$ полос, или $2\infty ^{4}$ точек.
6. Плоскость — 2 полуплоскости, или $4\infty ^{4}$ точек.
7. Бесконечный слой, ограниченный двумя параллельными плоскостями — $\infty$ плоскостей, или $4\infty ^{5}$ точек.
8. Полупространство — $\infty$ слоёв, или $4\infty ^{6}$ точек.
9. Пространство — 2 полупространства, или $8\infty ^{6}$ точек.

Параллельность и перпендикулярность прямых

Исключение из теоремы о параллельных прямых, вызванное магнитной аномалией.

Теорема о непересекаемости параллельных прямых по праву считается одной из самых сложных в истории геометрии. Многие геометры, начиная с Евклида, пытались её доказать, но впервые это удалось сделать лишь в XIX в. Для этого понадобилось проложить рельсы, идентичные параллельным прямым, на протяжении, близком к бесконечному, в данном случае — от Москвы до Владивостока, после чего пустить поезд «Москва—Владивосток». Экспериментально было доказано, что, поскольку состав в течение всего пути ни разу не сошёл с рельс, то параллельные прямые действительно нигде не пересекаются. Однако, во избежание излишней громоздкости и больших материальных затрат, данная теорема вскоре была принята за аксиому.

Менее сложной, но не менее интересной для геометров является теорема о трёх перпендикулярах, сформулированная следующим образом:

Дана прямая $a$. Если существует прямая $b$, перпендикулярная данной, то всегда можно построить ещё одну прямую $c$, также перпендикулярную прямой $a$.

Доказательство. Разделим прямую $a$ на 2 симметричных луча так, чтобы перпендикулярная ей прямая $b$ пересекала прямую $a$ слева от оси симметрии $O$. Так как симметричные части прямой абсолютно идентичны, то равноудалённые от оси $O$ точка пересечения $A$ и точка $B$ справа также идентичны, чего нельзя сказать об остальных точках. Из этого следует, что точка $B$ также может быть местом пересечения двух перпендикулярных прямых ($a$ и $c$), что и требовалось доказать.

Пример остропрямоугольника.

Многоугольники

Чтобы понять суть этого изображения, нужно надеть 3D-очки.

В глубокой древности люди умели считать только до 3, и все остальные числа, начиная с 4, они условно называли как «много». Именно поэтому первым начерченным многоугольником стал четырёхугольник. Все четырёхугольники можно подразделить на прямоугольники, имеющие прямые углы и прямосторонники, имеющие только прямые стороны. Ранее выделяли также кривосторонники, построенные лицами с малым радиусом кривизны рук и более низким расположением плечевого пояса, но, чтобы не портить такую изящную науку, как геометрия, кривосторонники были переименованы в определённые интегралы и удалены из геометрии, как инородные объекты.

Нифигон или дофигон?

Прямоугольники, в свою очередь, делятся на остропрямоугольники, имеющие помимо прямых хотя бы один острый угол, и тупопрямоугольники, в которых тупо все углы прямые. Среди них выделяют трапецию — прямоугольник, у которого одна сторона расположена дальше от наблюдателя, чем противоположная. Если же прямоугольник настолько длинный, что дальняя его сторона скрывается за горизонтом, то такой частный случай трапеции называется треугольником.

Круг — общее название для нольугольника и правильного бесконечноугольника (нифигона и дофигона соответственно), которые не имеют видимых различий, но всё же отличаются между собой. Если нольугольник — это просто гипертрофированная точка, то правильный бесконечноугольник — это полноценный многоугольник, каждая крайняя точка которого является одновременно и стороной, и вершиной так называемого наноразвёрнутого угла, невидимого невооружённым глазом.

Теорема Пифагора

Простейшая геометрическая теорема, которую под силу доказать даже первокласснику. Дело в том, что множество доказательств теоремы бесконечно, поэтому любая попытка обосновать её приводит к неизбежному успеху. Ниже представлены самые распространённые доказательства теоремы Пифагора:

1. Арифметико-физический метод исключения. Заметим, что гипотенуза имеет ту же размерность, что и катеты. То же самое можно сказать и про их квадраты, поэтому квадрат гипотенузы не может быть произведением или частным квадратов катетов. Теперь заметим то, что мы не заметили в прошлый раз: гипотенуза больше, чем любой из катетов, и это неравенство сохраняется при возведении их всех в квадрат. Значит, квадрат гипотенузы также не может быть разностью квадратов катетов. Методом исключения мы устанавливаем, что квадрат гипотенузы может быть равен только сумме квадратов катетов, что и требовалось доказать.
2. Университетский метод исключения. Задаём студенту-двоечнику, пришедшему на последнюю переэкзаменовку, доказать теорему Пифагора. Одно из двух: либо он её доказывает, либо мы исключаем его из университета.
3. Метод школьника. Да на лоха отвечаю, что равен!
4. Метод лоха. Рассмотрим $\bigtriangleup ABC$. У него есть 3 стороны: $AB$, $AC$ и $BC$. Также у него есть 3 вершины: точка $A$, точка $B$ и точка $C$. Ещё у него есть 3 угла: $\angle A$, $\angle B$ и $\angle C$. $\angle C=90^{\circ }$, величина двух других углов неизвестна, но нам это и не требуется. Угол, равный 90°, называется прямым, то есть $\angle C$ — это прямой угол. Треугольник, имеющий прямой угол, называется прямоугольным, то есть $\bigtriangleup ABC$ — это прямоугольный треугольник. Сторона $AB$ противоположна $\angle C$, значит, $AB$ — это гипотенуза $\bigtriangleup ABC$. Стороны $AC$ и $BC$ не противоположны $\angle C$, следовательно, $AC$ и $BC$ — катеты $\bigtriangleup ABC$. Сторона $AC$ короче, чем $BC$, поэтому $AC$ — это короткий катет $\bigtriangleup ABC$, а $BC$ — длинный катет $\bigtriangleup ABC$. Теперь рассмотрим $\bigtriangleup ABC$ более подробно…
5. Метод Деда Мороза. В этом году гипотенуза вела себя в 2 раза лучше, чем катеты, поэтому ей мы подарим большой квадрат, а менее послушным катетам — по квадрату с вдвое меньшей площадью. В итоге квадрат гипотенузы по площади оказался равен сумме квадратов катетов, и так будет до тех пор, пока катеты не исправятся.
6. Доказательство от противного. Предположим, что квадрат гипотенузы не равен сумме квадратов катетов. Но тогда бы никакой теоремы Пифагора не было. Возникает противоречие, следовательно, наше предположение ошибочно. Теорема доказана.

Однако, несмотря ни на что, единственным канонически верным с точки зрения геометрии является следующее доказательство:

Проведём описанную окружность вокруг прямоугольного $\bigtriangleup ABC$. Её центр находится на середине гипотенузы, которая также является диаметром этой окружности и делит на 2 равные части. Следовательно, дуга, стягиваемая гипотенузой $AB$ равна сумме двух дуг, стягиваемых катетами $AC$ и $BC$. Пропорциональность между дугами, стягиваемыми катетами и гипотенузой, и квадратами последних наукой пока не доказана, поэтому она принимается за аксиому. Теорема доказана.

В простонародии эта теорема получила название «Пифагоровы трусы» за сходство её графического представления с трусами (вид сзади), которые носил сам Пифагор, а также нижней частью спины и выглядывающими из-под трусов ногами древнегреческого учёного.

Примеры простейших задач в планиметрии

Нахождение периметра треугольника

Найти периметр этой простой, на первый взгляд, фигуры, дано далеко не каждому.

Дано: $\bigtriangleup ABC$ — равносторонний

   $AB$ = $AC$ = $BC$ = 10 см

Найти: $P_{ABC}$

Решение. Очевидно, что вычислить периметр $\bigtriangleup ABC$ невозможно без дополнительных построений. Чтобы не мелочиться и не прибегать по ходу решения к каким-либо ещё построениям, проведём сразу 3 биссектрисы, 3 медианы, 3 высоты (которые почему-то совпадают на чертеже) и 3 средние линии. Получившийся красивый узор свидетельствует о том, что мы на верном пути.

Рассмотрим $\bigtriangleup A_{2}OC_{1}$. Он прямоугольный с допустимой небольшой погрешностью. С такой же погрешностью предполагаем, что $\angle A_{2}OC_{1}=60^{\circ }$ и $\angle A_{2}C_{1}O=30^{\circ }$, с целью более лёгкого и рационального решения. Сторона $A_{2}C_{1}$ составляет половину средней линии и равна $2,5$ см, $A_{2}O=A_{2}C_{1}*tg30^{\circ }={\frac {2,5{\sqrt {3}}}{3}}$ см. По теореме Пифагора $OC_{1}={\sqrt {(2,5)^{2}+({\frac {2,5{\sqrt {3}}}{3}})^{2}}}={\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}$ см. Отсюда $P_{A_{2}OC_{1}}=2,5+{\frac {7,5{\sqrt {3}}}{3}}$ см.

Теперь рассмотрим $\bigtriangleup AA_{2}C_{1}$. Его углы также равны $30^{\circ }$, $60^{\circ }$ и $90^{\circ }$ в порядке возрастания, значит, $\bigtriangleup AA_{2}C_{1}$ подобен $\bigtriangleup A_{2}OC_{1}$. Короткий катет рассматриваемого треугольника совпадает с длинным катетом предыдущего, что значительно облегчает вычисление $P_{AA_{2}C_{1}}$. $AA_{2}=A_{2}C_{1}*ctg30^{\circ }=2,5{\sqrt {3}}$ см. Заметим, что гипотенуза предыдущего треугольника оказалась ровно в 2 раза длиннее, чем короткий катет, поэтому и $AC_{1}=2A_{2}C_{1}=5$ см. Следовательно, $P_{AA_{2}C_{1}}=7,5+2,5{\sqrt {3}}$ см.

Рассчитаем коэффициент подобия $\bigtriangleup A_{2}OC_{1}$ и $\bigtriangleup AA_{2}C_{1}$ через их периметры для большей надёжности, поскольку погрешность суммы 3 сторон значительно меньше, чем каждой по отдельности:

${\frac {7,5+2,5{\sqrt {3}}}{2,5+{\frac {7,5{\sqrt {3}}}{3}}}}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{1+{\frac {3{\sqrt {3}}}{3}}}}={\frac {3+{\sqrt {3}}}{1+{\sqrt {3}}}}*{\frac {1-{\sqrt {3}}}{1-{\sqrt {3}}}}={\frac {3-2{\sqrt {3}}-3}{1-3}}={\sqrt {3}}$

Рассмотрим $\bigtriangleup OBC_{1}$ и $\bigtriangleup CBC_{1}$. Полное и развёрнутое решение предусматривает также рассмотрение ещё 30 треугольников, но мы этого делать не будем, чтобы решить эту задачу в кратчайшие сроки. $\bigtriangleup CBC_{1}$ также подобен $\bigtriangleup OBC_{1}$, и короткий катет первого треугольника также совпадает с длинным катетом второго. $P_{OBC_{1}}={\frac {5{\sqrt {3}}}{3}}+5+{\frac {10{\sqrt {3}}}{3}}=5+5{\sqrt {3}}$ см.

Благодаря найденному коэффициенту подобия, справедливому и для этих треугольников, нам не нужно суммировать длины сторон $\bigtriangleup CBC_{1}$, чтобы узнать периметр. Достаточно $P_{OBC_{1}}$ умножить на коэффициент: $(5+5{\sqrt {3}})*{\sqrt {3}}=15+5{\sqrt {3}}$ см.

Рассмотрим условие задачи. Стороны $\bigtriangleup ABC$ — рациональные числа, поэтому иррациональная часть $P_{CBC_{1}}$ — это не что иное, как проведённая высота $CC_{1}$. Избавляемся от неё и умножаем полученную разность на 2: $15*2=30$ см. Получившееся рациональное, целое и даже круглое число свидетельствует о том, что задача решена правильно.

Ответ: 30 см.

Нахождение площади квадрата

Дано: Безымянный квадрат со стороной 8 см
Найти: $S$

Решение. Разделим данный квадрат по диагонали на 2 равные части и впишем в каждую из них по квадрату (на рисунке обозначены красным цветом), со стороной, вдвое меньшей, чем у искомого квадрата, то есть 4 см. Как известно, квадрат со стороной 4 см — это частный случай многоугольника, когда $P=S=16$ (см² для площади). Аналогичным образом вписываем в оставшуюся область 4 квадрата поменьше (жёлтого цвета), затем 8 квадратов ещё меньше (зелёного цвета) и т. д. Заметим, что площадь каждого из вписываемых квадратов каждый раз уменьшается в 4 раза, а их количество увеличивается в 2 раза. Найдём предел образовавшейся последовательности, приняв площадь квадрата со стороной 4 см за единицу:

$\lim _{n\to \infty }x_{n}=2*1+4*{\frac {1}{4}}+8*{\frac {1}{16}}+\cdots +2^{n}*{\frac {1}{2^{2n-2}}}=2+1+{\frac {1}{2}}+\cdots +{\frac {1}{2^{n-2}}}=4$

Как видим, безымянность данного квадрата отрицательно сказалась на индивидуализации подхода к нему и привело к куда более краткому решению по сравнению с другими многоугольниками, обозначенными буквами. Поэтому правильный ответ $16*4=64$ см² нельзя считать достоверным без ряда дополнительных проверок.

Ответ: 64±32 см².

Объёмные тела

Простейшим объёмным телом в геометрии считается пирамида — произвольный многоугольник со смещённым центром тяжести, не совпадающим с плоскостью этого многоугольника. Причина этого воистину удивительного феномена неизвестна, но большинство геометров полагает, что она кроется в тех же магнитных аномалиях, что и в случае с пересекающимися параллельными прямыми. Как результат, диагонали такого многоугольника, проходя через центр, становятся рёбрами пирамиды, а проведённый серединный перпендикуляр — апофемой.

Цилиндр — вспомогательное тело, самостоятельная значимость которого не показана. Используется исключительно для графического представления таких объёмных тел, как шар и куб.

Дело в том, что форма двух вышеперечисленных тел настолько сложна, что они не подвластны человеческому воображению. Простейший способ получения шара и куба заключается в следующем. Берут 3 равных цилиндра и «сваривают» их таким образом, чтобы «свариваемые концы» цилиндров равнялись диаметру их оснований, и чтобы каждый из этих тел был перпендикулярен двум другим. Полученная область, принадлежащая всем трём цилиндрам, называется шаром, а область, принадлежащая хотя бы двум из них — кубом.

Графическое представление шара и куба в 2D-формате.

Кроме того, к объёмным телам однажды хотели отнести тор, на что великий учёный Э. Торричелли, быстро сообразив, что это — типичный объект топологии (см. ниже), лаконично высказался: «Тор здесь неуместен». Впоследствии эта фраза стала крылатой: позже её использовали не только в математике, но и в других областях науки, лишь слегка изменив её, чтобы не нарушать авторское право.

«Неуместные» цитаты

Вор здесь неуместен.

~ Жеглов про живущих на свободе

Жор здесь неуместен.

~ рыбак про громкое чавканье соседнего рыбака

Сор здесь неуместен.

~ очень-очень-очень культурная уборщица про людей, бросающих бычки мимо урны

Хор здесь неуместен.

~ «Фабрика звёзд» про Змея Горыныча на кастинге

Бор здесь неуместен.

~ Менделеев про группу галогенов в своей таблице

Бор здесь неуместен.

~ строители про заповедник на территории будущей застройки

Бор здесь неуместен.

~ стоматолог про инородное тело в корневом канале пациента, оставленное другим стоматологом

Лор здесь неуместен.

~ хирурги про аппендэктомию

ЛОР здесь неуместен.

~ виндузятники про Интернет

ЛОР здесь неуместен.

~ абсурдопедисты про избранные статьи

Торт здесь неуместен.

~ родственники умершего на похоронах

Торс здесь неуместен.

~ профессор Доуэль про бюст Карла Маркса

Торф здесь неуместен.

~ работники АЭС про поставляемое топливо

Фтор здесь неуместен.

~ больной флюорозом про питьевую воду

Топология

Для настоящего тополога это изображение всегда остаётся неподвижным.

Топология (дословно верхняя наука от англ. top — верх и др. греч. λόγος — наука), также высшая геометрия — углублённый раздел геометрии, основанный крайне увлечёнными своей деятельностью математиками, пожертвовавшими ради науки своей личной жизнью. Этим объясняется тот факт, что объектами изучения топологии являются любые фигуры или тела, имеющие дырки. Порой учёные-топологи настолько озабочены этими отверстиями, что не могут отличить даже кружку от бублика только потому, что у них обоих есть по одной дырке.

У ленты Мёбиуса также есть дырка, как и подобает объектам топологии.

Лента Мёбиуса

Величайшее изобретение немецкого тополога А. Мёбиуса, получившего патент на него ещё в юности. В то время, как его ровесники клеили девушек, Мёбиус, будучи прирождённым топологом, клеил бумагу. Однажды, в процессе очередного эксперимента с бумагой, учёный решил рискнуть и повернул вырезанную полосу перед склейкой на 180°. Ещё никто из топологов не осмеливался пойти на это до него: такая инверсия в их кругу считалась перверсией и насилием над бумагой.

Мёбиус неоднократно подвергался критике за своё «безнравственное» изобретение, поэтому тополог решил собрать побольше народу и продемонстрировать свойства этой замечательной полоски. На глазах у публики он полностью разрезал ленту вдоль, и — о чудо! — она не распалась на 2 части, а стала в 2 раза длиннее и у́же! Полученную полоску Мёбиус опять разрезал вдоль. При этом она всё-таки распалась на 2 части, но они удивительным образом оказались соединены между собой.

Но зрители, будучи неглупыми людьми, быстро догадались, что это развод, и Мёбиус специально посещал курсы иллюзиониста, чтобы их одурачить. Так, в первый раз, по мнению публики, тополог незаметно спрятал 2 части своей ленты в рукав и одновременно вытащил спрятанную заранее длинную и узкую ленту; во второй раз он незаметно отклеил одну из 2 полосок, прикрывая место разъединения пальцем, и приклеил обратно.

Чтобы доказать, что это не фокус, а научный факт, Мёбиус обратился к «Разрушителям легенд». Естественно, ему со смехом было отказано, поскольку в эксперименте с «какой-то бумажкой» было бы нецелесообразно что-либо взрывать. Отчаявшись, Мёбиус решил покинуть топологию и стал фокусником, заработав впоследствии немало денег благодаря «фокусу» с одноимённой лентой.

Бутылка Клейна

Объект топологии, в 2 раза более интересный, чем лента Мёбиуса, так как имеет 2 дырки: вход в бутылку и сквозную дырку снаружи её. Это — единственная бутылка, внутри которой невозможно собрать корабль. Многие топологи пытались это сделать, используя изогнутые по плоскости зажимы и пинцеты, но конфигурация горлышка не позволяла совершать внутри бутылки Клейна точные и скоординированные манипуляции. В конце концов «прогрессивные геометры» плюнули на эту затею, заявив от безысходности, что у этой чёртовой бутылки нет «снаружи» и нет «внутри».

Геометрия Лобачевского

Треугольник, квадрат и восьмиугольник в геометрии Лобачевского.

В детстве Лобачевский был чрезвычайно ранимым мальчиком и сильно обижался, когда ему говорили, например, что дважды два равняется не пяти, как он думал, а четырём. Однажды в школе на вопрос учителя он уверенно заявил, что через точку, не лежащую на прямой, можно провести не менее 20—30 прямых, параллельных ей. Получив двойку, Лобачевский поклялся, что создаст свою геометрию, в которой все до единой прямые, а также другие линии, будут параллельными друг другу.

Схематичное изображение прямой, параллельной окружности. Прямая априори бесконечно тонкая, поэтому она может идти по спирали бесконечно долго.

Едва окончив университет, амбициозный геометр воплотил свою идею в реальность. В геометрии Лобачевского ни одна из линий не только не пересекается с другой, а даже не примыкает к ней. В соответствии с принятым постулатом многоугольники в геометрии Лобачевского не имеют вершин, а их изолированные друг от друга стороны устремляются в бесконечность. Благодаря этому задачи на вычисление периметра и площади становятся неактуальными: обе эти характеристики численно равны бесконечности.

Особый интерес представляет прямая, заключённая внутри окружности (границы нольугольника) — единственного замкнутого объекта в геометрии Лобачевского. Поскольку прямая аутопараллельна (не может пересекать саму себя) и параллельна окружности согласно постулату, то ей ничего не остаётся делать, как скрутиться в бесконечную спираль.

Геометрия Лобачевского получила практическое применение и в других разделах математики, в частности, в математическом анализе. Например, в так называемых координатах Лобачевского область значений и область определения функции никогда не включает в себя 0, чтобы график не смог пересечь оси абсцисс и ординат, а точка (0; 0) выколота из координат вообще, причём выколота не «кружочком», а иголкой, чтобы оси ни в коем случае не пересекались.

Однако геометрия Лобачевского не лишена недостатков. До сих пор остаётся загадкой, как поведёт себя прямая, которая в евклидовой геометрии была бы перпендикулярна другой. Ведь с равной вероятностью она может повернуть как влево, так и вправо, или же вообще раздвоиться и пойти в обе стороны.

Сферическая геометрия

Гигантский выпуклый равносторонний треугольник со стороной около 10000 км.

Сферическая, или глобальная, геометрия — относительно современный раздел геометрии, в котором плоскостью служит планета Земля. Остальные, более древние, разделы были основаны ещё в те времена, когда Землю ошибочно считали плоской. После появления глобальной геометрии все они были объединены под общим названием локальная геометрия, в которой кривизной планеты можно было пренебречь.

С появлением принципиально нового раздела многоугольники стали дифференцировать на выпуклые (в глобальной геометрии) и невыпуклые (в локальной геометрии). Поскольку выпуклые многоугольники изогнуты красиво и равномерно, то они кривосторонниками не считаются, поэтому их существование в геометрии вполне допустимо.

В Новое время, по аналогии со сферической геометрией, сформировался целый класс так называемых телоидных геометрий: пирамидальная, коническая, призматическая, цилиндрическая, кубическая и т. д. Последняя ввиду общего «трицилиндрического» представления стала самой популярной из них.

Кубическая геометрия

Перпенделлельные прямые в кубической геометрии.

Основой данной геометрии является замкнутая гексаплоскость, изогнутая под прямым углом в 12 местах. Её главный постулат звучит так:

Каждый из объектов кубической геометрии, за исключением точки, должен располагаться не менее, чем на 2 гранях сразу, иначе он будет неотличим от такового в евклидовой геометрии, что недопустимо и неинтересно.

Квадрат $EFGH$ (выделен обоими оттенками зелёного цвета), включающий в себя квадрат $ABCD$ (выделен тёмно-зелёным цветом).

Из приведённого постулата следует, что все вершины многоугольников должны лежать на рёбрах куба, поскольку угол — это также геометрический объект, и образующие его стороны должны находиться на соседних гранях. Сами стороны при этом самостоятельными объектами не считаются.

В треугольнике, как в таковом, все стороны являются соседними по отношению друг к другу; то же самое можно сказать и о гранях, на которых они лежат. Следовательно, вершина, в которой сходятся эти грани, лежит внутри данного треугольника и представляет собой смещённый центр его тяжести. Иными словами, треугольник в кубической геометрии — это, по сути, пирамида.

Куда больший интерес, чем треугольник, вызывает квадрат, обладающий уникальными свойствами:

1. Каждый угол квадрата равен 180°, образованный суммой двух прямых углов с ребром куба.
2. Сторона квадрата и, как следствие, периметр равны константе.
3. Площадь квадрата может находиться в пределах $a^{2}<S<5a^{2}$, то же касается и прямоугольников (как, например, прямоугольник $EBCH$ на рисунке).

Примечательно, что круг, описанный по «экватору» куба, визуально неотличим от квадрата. Это послужило графическим решением задачи о квадратуре круга.

Примеры практического применения геометрии

1. На стрельбище, где несколько человек стреляют по мишеням, траектории полёта пуль проходят по практически параллельным прямым. Зная аксиому о непересекаемости параллельных прямых, стрелки́ могут не бояться, что какая-нибудь шальная пуля отскочит от другой и попадёт в одного из них. У тех ж стрелков, кто не знаком с этой аксиомой, настолько дрожат руки от страха травмоопасного рикошета, что они могут выстрелить с отклонением до 30°, что может привести с травмоопасному рикошету из-за пересечения уже совсем непараллельных траекторий.
2. Жарким летом часто возникает желание спрятаться от палящих солнечных лучей в своём доме, однако даже тут коварное солнце ярко светит через окно! Для человека, знающего геометрию, это не беда: представив освещаемый объём комнаты в виде призмы с трапецией в основании (длинное основание трапеции — путь лучей от верхнего края окна до пола, короткое основание — от подоконника до пола) и измерив угол падения солнечных лучей, он легко сможет вычислить, где не нужно находиться, чтобы избежать прямых солнечных лучей. Людям же, не знающим геометрии, приходится в этой ситуации использовать плотные шторы или жалюзи.
3. Некоторые ради экстремальных ощущений любят прыгать с парашютом, рискуя жизнью (или без него, рискуя жизнью ещё больше). Теперь допустим, что парашют не раскрылся. Тогда, при отсутствии сильного ветра, будущая жертва будет падать по прямой, перпендикулярной земной поверхности. Рассмотрим точку пересечения прямой и «земной» плоскости. Именно здесь в ближайшую минуту и будет лежать разбившийся парашютист. Если учесть, что через произвольную точку в пространстве можно провести только одну прямую, перпендикулярную плоскости, то можно сделать вывод: знающий это парашютист может не знать, где он упадёт, чтобы подстелить солому в нужном месте — ему достаточно знать, откуда он выпрыгнет.

Квалификация геометра

Каждый желающий получить почётное звание «измерителя Земли» или геометра, начиная со времён античности, должен пройти три простых теста, используя для этого лишь циркуль и линейку:

1. Начертить квадрат той же площади, что и заданный круг.
2. Построить куб, объём которого в два раза превышает объём заданного куба.
3. Разделить любой заданный угол на три равных угла.

После успешной сдачи экзамена, геометр имеет право рисовать геоглифы в пустыне Наска и определять границы Европы и Азии на карте с точностью до десятых долей миллиметра в масштабе 1:100000.

См. также

• Любовная геометрия

Досуги геометрии: ссылки

• Занятие в прокрастинации человеку с геометрическим складом ума